Elektrische Schaltungen

Interaktive Erklärung von Reihen- und Parallelschaltungen

Reihenschaltung

Bei einer Reihenschaltung sind die Widerstände hintereinander geschaltet. Der gleiche Strom $I$ fließt durch alle Widerstände. Die Gesamtspannung $U$ teilt sich auf die einzelnen Widerstände auf: $U = U_1 + U_2 + U_3$

Interaktive Schaltung

U + − I R₁ U₁ R₂ U₂ U Gleicher Strom durch alle Widerstände Elektronen (I = konstant)

Bauteil

1x
12 V
100 Ω
200 Ω
150 Ω
$R_3$ ausgeschaltet $R_3$ eingeschaltet

Berechnete Werte

Widerstände

$R_1$
100
Ω
$R_2$
200
Ω
$R_3$
150
Ω
$R_{ges}$
300
Ω

Strom (überall gleich!)

$I$
40
mA

Spannungen (teilen sich auf!)

$U_1$
4
V
$U_2$
8
V
$U_3$
6
V
$U_{ges}$
12
V

Leistung

$P_{ges}$
0.48
W

Vergleich: Vorher vs. Nachher ($R_3$ hinzugefügt)

Größe Ohne $R_3$ Mit $R_3$ Änderung Erklärung
$R_{ges}$ 300 Ω 450 Ω ↑ steigt Widerstände addieren sich
$I$ 40 mA 26.7 mA ↓ sinkt Mehr Widerstand = weniger Strom
$U_1$ 4 V 2.67 V ↓ sinkt $U_1 = I \cdot R_1$, I sinkt → $U_1$ sinkt
$U_2$ 8 V 5.33 V ↓ sinkt $U_2 = I \cdot R_2$, I sinkt → $U_2$ sinkt

Detaillierte Erklärung

Grundprinzip der Reihenschaltung

Bei einer Reihenschaltung von Widerständen gilt:

  • Durch alle Widerstände fließt der gleiche Strom $I$
  • Die Gesamtspannung $U$ teilt sich auf die einzelnen Widerstände auf
  • Die Summe der Teilspannungen ergibt die Gesamtspannung:
$$U = U_1 + U_2 + U_3 + \ldots$$

Schritt-für-Schritt-Rechnung

Gesamtwiderstand berechnen

Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände:

$$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + \ldots$$

Strom berechnen

Der Strom ist überall gleich und wird durch die Gesamtspannung und den Gesamtwiderstand bestimmt:

$$I = \frac{U}{R_{ges}}$$

Teilspannungen berechnen

Die Spannung an jedem Widerstand ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz:

$$U_1 = I \cdot R_1 \qquad U_2 = I \cdot R_2 \qquad U_3 = I \cdot R_3$$

Wichtige Erkenntnis

Warum ändern sich $U_1$ und $U_2$ wenn $R_3$ hinzugefügt wird?

Im Gegensatz zur Parallelschaltung ändert sich bei der Reihenschaltung ALLES:

  1. $R_{ges}$ steigt → Der Gesamtwiderstand wird größer
  2. $I$ sinkt → Bei gleicher Spannung fließt weniger Strom
  3. $U_1, U_2$ sinken → Da $U = I \cdot R$ und $I$ kleiner wird
$$U_1 + U_2 + U_3 = U_{ges} = \text{konstant}$$

Wichtige Formeln: Reihenschaltung

Gesamtwiderstand

$$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + \ldots$$

Strom (überall gleich)

$$I = I_1 = I_2 = I_3 = \frac{U}{R_{ges}}$$

Spannungsteilung

$$U = U_1 + U_2 + U_3 + \ldots$$ $$U_n = I \cdot R_n$$

Spannungsteiler-Formel

$$U_n = U \cdot \frac{R_n}{R_{ges}}$$

Parallelschaltung

Bei einer Parallelschaltung sind die Widerstände nebeneinander geschaltet. An allen Widerständen liegt die gleiche Spannung $U$ an. Der Gesamtstrom teilt sich auf: $I_g = I_1 + I_2 + I_3$

Interaktive Schaltung

U + − Ig R₁ I₁ R₂ I₂ U I₁ I₂ I₃

Bauteil

1x
12 V
100 Ω
200 Ω
150 Ω
$R_3$ ausgeschaltet $R_3$ eingeschaltet

Berechnete Werte

Widerstände

$R_1$
100
Ω
$R_2$
200
Ω
$R_3$
150
Ω
$R_{ges}$
66.67
Ω

Ströme (teilen sich auf!)

$I_1$
120
mA
$I_2$
60
mA
$I_3$
80
mA
$I_g$
180
mA

Spannung (überall gleich!)

$U$
12
V
$P_{ges}$
2.16
W

Vergleich: Vorher vs. Nachher ($R_3$ hinzugefügt)

Größe Ohne $R_3$ Mit $R_3$ Änderung Erklärung
$R_{ges}$ 66.67 Ω 46.15 Ω ↓ sinkt Mehr parallele Pfade
$I_g$ 180 mA 260 mA ↑ steigt Weniger Widerstand = mehr Strom
$I_1$ 120 mA 120 mA = gleich $I_1 = U/R_1$ unverändert
$I_2$ 60 mA 60 mA = gleich $I_2 = U/R_2$ unverändert

Detaillierte Erklärung

Grundprinzip der Parallelschaltung

Bei einer Parallelschaltung von Widerständen gilt:

  • An allen Widerständen liegt die gleiche Spannung $U$ an
  • Der Gesamtstrom $I_g$ teilt sich auf die einzelnen Zweige auf
  • Die Summe der Teilströme ergibt den Gesamtstrom:
$$I_g = I_1 + I_2 + I_3 + \ldots$$

Schritt-für-Schritt-Rechnung

Gesamtwiderstand berechnen

Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte:

$$\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Teilströme berechnen

Da die Spannung überall gleich ist:

$$I_1 = \frac{U}{R_1} \qquad I_2 = \frac{U}{R_2} \qquad I_3 = \frac{U}{R_3}$$

Gesamtstrom berechnen

Der Gesamtstrom ist die Summe aller Teilströme:

$$I_g = I_1 + I_2 + I_3$$

Wichtige Erkenntnis

Warum bleiben $I_1$ und $I_2$ gleich?

Die Teilströme hängen nur von $U$ und dem jeweiligen $R$ ab:

$$I_1 = \frac{U}{R_1} = \text{const.} \qquad I_2 = \frac{U}{R_2} = \text{const.}$$

Da sich weder $U$ noch $R_1$ oder $R_2$ ändern, bleiben $I_1$ und $I_2$ unverändert!

Wichtige Formeln: Parallelschaltung

Gesamtwiderstand

$$\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Kurzformel (2 Widerstände)

$$R_{ges} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$

Spannung (überall gleich)

$$U = U_1 = U_2 = U_3$$

Stromteilung

$$I_g = I_1 + I_2 + I_3$$ $$I_n = \frac{U}{R_n}$$

Zusammenfassung: Reihen- vs. Parallelschaltung

Eigenschaft Reihenschaltung Parallelschaltung
Strom Überall gleich: $I_1 = I_2 = I$ Teilt sich auf: $I_g = I_1 + I_2 + \ldots$
Spannung Teilt sich auf: $U = U_1 + U_2 + \ldots$ Überall gleich: $U_1 = U_2 = U$
$R_{ges}$ $R_{ges} = R_1 + R_2 + \ldots$
Größer als größter Einzelwiderstand		 $\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots$
Kleiner als kleinster Einzelwiderstand
R₃ hinzufügen $R_{ges}$ ↑, $I$ ↓, $U_1$ ↓, $U_2$ ↓ $R_{ges}$ ↓, $I_g$ ↑, $I_1$ =, $I_2$ =

Gemischte Schaltung

Bei einer gemischten Schaltung werden Reihen- und Parallelschaltungen kombiniert. Die Berechnung erfolgt schrittweise: Zuerst werden Teilschaltungen vereinfacht, dann wird der Gesamtwiderstand berechnet.

Interaktive Schaltung

U + − R₁ R₂ R₃ I I₂ I₃

Szenario 1: R₁ + (R₂ ∥ R₃)
R₁ in Reihe mit Parallelschaltung R₂∥R₃ • Gleicher Strom I durch R₁ • Strom teilt sich bei R₂ und R₃
12 V
100 Ω
200 Ω
300 Ω

Berechnete Werte

Szenario 1: R₁ + (R₂ ∥ R₃)

R₁ ist in Reihe mit der Parallelschaltung aus R₂ und R₃ geschaltet.

Teilwiderstand
120 Ω
R₂∥R₃
Gesamtwiderstand
220 Ω
R_ges
Gesamtstrom
54.5 mA
I_ges
Strom I₁
54.5 mA
durch R₁
Strom I₂
32.7 mA
durch R₂
Strom I₃
21.8 mA
durch R₃
Spannung U₁
5.45 V
an R₁
Spannung U₂
6.55 V
an R₂
Spannung U₃
6.55 V
an R₃

Leistungen

Gesamtleistung
0.65 W
P_ges
Leistung P₁
0.30 W
an R₁
Leistung P₂
0.21 W
an R₂
Leistung P₃
0.14 W
an R₃

Berechnungsmethode für gemischte Schaltungen

Schrittweise Vereinfachung

Bei gemischten Schaltungen geht man von innen nach außen vor: Zuerst werden die innersten Teilschaltungen (Reihe oder Parallel) zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst, dann wird mit diesem weitergerechnet.

Schritt-für-Schritt Berechnung

Vergleich der drei Szenarien

Bei gleichen Widerstandswerten ergeben sich je nach Schaltungsart unterschiedliche Gesamtwiderstände:

Szenario Schaltung Formel für R_ges R_ges (bei R₁=100Ω, R₂=200Ω, R₃=300Ω)
1 R₁ + (R₂ ∥ R₃) $R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$ 220 Ω
2 (R₁ ∥ R₂) + R₃ $\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} + R_3$ 366.7 Ω
3 R₁ ∥ (R₂ + R₃) $\frac{R_1 \cdot (R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3}$ 83.3 Ω

Wichtige Erkenntnisse

  • Parallelschaltung verringert den Widerstand (mehr Strompfade)
  • Reihenschaltung erhöht den Widerstand (Widerstände addieren sich)
  • Die Reihenfolge der Kombination beeinflusst das Ergebnis stark
  • Szenario 3 hat den niedrigsten R_ges, weil R₁ parallel zur Reihenkombination liegt